\documentclass[a4paper,12pt,russian]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel} 
\usepackage{cmap}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{color}
\usepackage[pdftex,unicode]{hyperref}
\usepackage{listings}

\usepackage{algorithm}
\floatname{algorithm}{Алгоритм}
\usepackage{algorithmicx}
\usepackage{algpseudocode}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{common}

\title{Повышение качества работы
  малогабаритной обзорной РЛС в условиях
  сложной фоно-целевой обстановки}

\author{Жураковский В.\,Н., Кондрашов К.\,С.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
%%% Для подключения рисунков
%%% Указываем возможные форматы и подкаталог расположения
\graphicspath{{pdf/}}
\DeclareGraphicsExtensions{.png,.pdf}

\begin{document}
\maketitle

\section*{Введение}
В составе современных радиолокационных систем (РЛС) часто присутствует
автономная обзорная подсистема, которая делает работу РЛС в целом
более эффективной, позволяя производить предварительный обзор
пространства и формирование адекватной целевой обстановки до начала
работы с основной остронаправленной антенной.  При этом алгоритмы
обработки данных, используемые в автономном обзоре, имеют ряд отличий
от масштабных обзорных РЛС. В статье рассматривается способ улучшения
работы малогабаритной РЛС в режиме обзора путем введения дополнительного
этапа во вторичную обработку. При этом акцент делается на практическое
применение предлагаемого алгоритма в условиях коротких выборок
и малой точности измерения при первичной обработке.

\section{Постановка задачи}
На рисунке \ref{img:system} изображается обобщенная схема средств
обработки данных в режиме автономного обзора, характерная для
современных РЛС. Результаты первичной обработки передаются в прибор
вторичной обработки, который осуществляет построение фоно-целевой
обстановки и (зачастую) управление положением антенны. Общие
принципы функционирования вторичной обработки, которые используются в
современных обзорных РЛС, приводятся в \cite{Kuzmin2000, FSCOS}.
\begin{figure}[h]
   \centering
   \includegraphics[height=0.25\paperheight]{system}
   \caption{Схема обработки данных в обзоре}\label{img:system}
\end{figure}

Обзорная антенна равномерно сканирует пространтсво в горизонтальной
плоскости с постоянной угловой скоростью, осуществляя одновременно
изменение вертикального угла (как правило, незначительное). Частота
вращения антенны составляет 0.3 -- 0.5 об./c. Оператор
при этом должен получать своевременную картину фоно-целевой обстановки,
имея возможность достаточно быстро перейти к сопровождению скоростных
целей, представляющих наибольшую опасность. Данные на вход вторичной
обработки поступают при этом сравнительно редко и с низкой точностью,
что делает оценку фоно-целевой обстановки в реальном времени 
нетривиальной задачей.

Алгоритм вторичной обработки в обзорной РЛС включает в себя следующие
вные этапы \cite{Kuzmin2000, FSCOS}:
\begin{itemize}
\item автозахват траектории: осуществляется по мере поступления новых
  отметок, которые нельзя приписать ни к одной из существующих
  траекторий. При этом принимается решение о существовании той или
  иной траектории и производится предварительная оценка ее параметров;
\item сопровождение траектории: процесс уточнения параметров
  обнаруженной траектории и приписывания к ней новых отметок, а также
  сброс не подтверждаемых (ложных) траекторий. На данном этапе широко
  используются такие методы фильтрации, как <<альфа-бета>> алгоритм и
  фильтр Калмана.
\end{itemize}

В данной статье предлагается ввести дополнительный этап: \textit{
разделение подвижных и малоподвижных объектов}, а также приводится 
соответствующий алгоритм, использующий методы кластерного анализа 
и критерий проверки сложной гипотезы для параметрического семейства 
распределений. Использование данного алгоритма, предворяющего работу
автозахвата и сопровождения, позволяет существенно улучшить работу
системы в целом.

\section{Модель фоно-целевой обстановки на входе вторичной обработки}
\label{sec:models}

Фоно-целевая обстановка состоит из следующих компонент:

\begin{enumerate}
\item Неподвижные и малоподвижные объекты, имеющие не вполне
  однозначный характер движения: корабли на рейде, береговая линия;
\item Подвижные морские и низколетящие воздушные цели с ЭПР широкого
  диапазона;
\item Скоростные воздушные цели;
\item Подстилающая поверхность (море).
\end{enumerate}

В процессе первичной обработки формируются обнаружения по
перечисленным объектам, а также по шумам в тракте. В силу существенных
различий в том, как компоненты фоно-целевой обстановки ведут себя во
времени, представляется целесообразным в процессе вторичной обработки
разбить входные обнаружения на классы, так, чтобы облегчить обработку
внутри каждого класса.

Существенную роль в этом играет информация о диапазоне радиальной
скорости, получаемая при первичной обработке путем вычисления
доплеровского смещения. Это позволяет приписать каждому обнаружению
промежуток скоростей (скоростной канал, СК), в котором оно находится.
Обнаружения, находящиеся в ненулевом СК, считаются порожденными
объектами типа 2--3. Их целесообразно обрабатывать при помощи
траекторных фильтров. Обнаружения, находящиеся в 0-ом канале, в
случае, если размер СК достаточно велик (на практике может достигать
величин порядка сотен м/c), необходимо различать на порожденные
объектами типа 1 и 2.

Как показывает практика, для объектов типа 1 использование траекторных
фильтров приводит к методическим ошибкам определениям скорости. Это
обусловлено конечными (и зачастую весьма существенными) размерами
пространственного кванта разрешения, а также флyктуациями измеренного
кванта, приписанного одному и тому же объекту типа 1.  Данные
флуктуации обусловлены множеcтвом причин: <<неудачным>> расположением
цели поблизости границы двух квантов, влиянием шумов на срабатывание
обнаружителя в соседних с истинным квантами, флуктуациями истинного
положения цели и платформы, на которой базируется РЛС. При этом
происходит вырабатывание ложной скорости, поскольку количество
измерений, по которым нужно оценить параметры целей в реальном времени
весьма мало. Это делает целесообразным вообще отказаться от
определения скорости неподвижных и малоподвижных объектов (таких, что
их положение меняется несущественно на достаточно большом количестве
обзоров), и оценивать только <<центры сгущений>> обнаружений,
порождаемых данными объектами за время наблюдения.

Из вышесказанного следует, что для вторичной обработки целесообразно
выделить следующие классы обнаружений, получаемых на выходе первичной
обработки:
\begin{itemize}
\item $K_1$ -- порожденными объектами типа 1 на фоне шумов в тракте;
\item $K_2$ -- порожденные объектами типа 2-3 на фоне шумов.
\item $K_3$ -- порожденные объектами типа 4 на фоне шумов.
\end{itemize}

Далее по тексту будут использоваться две системы координат: полярная
система координат с центром в РЛС и связанная с ней декартова. Режим
сканирования пространства обзорной РЛС таков, что информацию о
вертикальном угле можно не учитывать. В свою очередь, обе системы
координат располагаются в горизонтальной плоскости.

Приведем математические модели указанных классов. Прежде, введем
некоторые обозначения.

\def\xp{\mathbf{x_p}} 
\def\xc{\mathbf{x_c}}
\def\zn{\mathbf{z_{\mathit{n}}}}
\def\Z0{\mathcal{Z}_{=0}}
\def\Zg0{\mathcal{Z}_{>0}}
\begin{enumerate}
\item $\xp$ -- координаты объекта в полярной системе координат: $\xp =
  [r\; \varphi]^T$. Здесь $r$ -- расстояние до объекта, $\varphi$ --
  пеленг.

\item $\xc$ -- координаты объекта в декартовой системе: $\xc = [x\;
  y]^T$.
\item $\mathcal{Z} = \{\zn\}$; $n = 1, 2, \cdots, N$ -- множество
  обнаружений на входе вторичной обработки за некоторый промежуток
  времени. Обозначим $\Z0$ как множество обнаружений в
  нулевом СК, $\Zg0$ -- во всех остальных. Тогда из
  $\mathbf{z}_n$ можно исключить номер СК и описывать его только
  номером кванта: $\zn = q$; $q = 1, 2, \cdots, Q$.
\end{enumerate}

Класс $K_1$ удобно представить смесью вероятностных распределений. При
этом для вектора измерений $\zn \in \Z0$ функция
правдоподобия будет иметь вид: \def\sumsS{\sum_{s=1}^{S}}
\begin{equation}
  \label{eq:k1}
  p(\zn|\Theta) = \sumsS\omega_s\phi(\zn|\theta_s).
\end{equation}

Здесь $S$ -- количество компонент смеси, индекс $s=1, 2, \cdots, S$
соответствует $s$-ой компоненте, $\Theta = \{\theta_s\}$ -- множество
параметров смеси, $\omega_s$ -- <<веса>> компонентов,
$\phi(\zn|\theta_s)$ -- условная ПРВ вектора измерений,
$p(\zn|\Theta)$ -- суммарная ПРВ смеси.

Конкретный вид $\phi(\zn|\theta_s)$ зависит от характеристик
обнаружителя.  $s$-ый компонент при таком подходе соответствует $s$-му
объекту класса $K_1$, представляющему собой, условно говоря, <<центр
сгущения>> обнаружений.

С учетом дискретизации при первичной обработке, функция правдоподобия
для обнаружений будет иметь вид:
\def\xps{\mathbf{x_{p,\mathit{s}}}} 
\def\pquant{P\left(q_n|\theta_s\right)}
\begin{equation}
  \label{eq:k1quant}
  P(q_n|\Theta) = \sumsS\omega_s \pquant.
\end{equation}
Под $\theta_s$ здесь понимаются параметры <<сгущения>>, вычисляемые, в частности, на
основе информации об истинном положении объекта $\xps$, которое
определяет его <<центр>>. Расчет вероятностей $\pquant$ в общем случае
в аналитическом виде может быть затруднителен при учете особенностей
работы первичного тракта. Для упрощения изложения будем считать, что
существует функция, имеющая смысл условной ПРВ, которая описывает
работу обнаружителя следующим образом: \def\rhodet{\psi(\xi_p|
  \theta_{\psi,s})}
\begin{eqnarray}
  \label{eq:k1pquant}
  \pquant &=& \int\limits_ {\Omega(q_n)} \rhodet d\xi_p; \\
  \theta_{\psi,s} &=& \theta_{\psi,s}(\xps). \nonumber
\end{eqnarray}

Здесь $\rhodet$ -- упомянутая функция, величина $\xi_p = [r\;
\varphi]^T$ описывает полярные координаты точки, в которой она
вычисляется, $\Omega(q_n)$ -- множество на горизонтальной плоскости,
ограничивающее $q_n$-ый квант, $\theta_{\psi,s}$ -- параметры $s$-го
распределения, которые зависят от $\xps$.
$\rhodet$ в каждой точке $\xi_p$ имеет смысл вероятности
срабатывания обнаружителя в первичном тракте для элементарной площади
(в плоском случае) $d \xi_p$ при условии нахождения в точке $\xps$
объекта класса $K_1$. При этом чем меньше расстояние от $\xi_p$ до
$\xps$, тем величина $\rhodet$ ближе к вероятности правильного
обнаружения. В точках, удаленных от $\xps$, она определяется
вероятностью срабатывания исключительно по шумам. Вид $\rhodet$
зависит от формы и мощности зондирующего импульса, уровня шумов и
неопределенности истинного положения цели.  Она либо непрерывна, либо
имеет ограниченное множество конечных разрывов.

Выражение (\ref{eq:k1pquant}) можно привести к следующему виду,
воспользовашись теоремой о среднем:
\def\rhodetavrg{\psi(\xi_{p,n}^*| \theta_{\psi,s})}
\begin{eqnarray}
  \label{eq:k1pquantavrg}
  \pquant &=& S(q_n) \rhodetavrg,\\
  S(q_n)  &=& \int\limits_{\Omega(q_n)}d \xi_p,\nonumber \\
  \xi_{p,n}^* &\in& \Omega(q_n). \nonumber
\end{eqnarray}

Подставляя (\ref{eq:k1pquantavrg}) в (\ref{eq:k1quant}), имеем:
\begin{equation}
  \boxed{
  \label{eq:k1quantavrg}
  P(q_n,\Theta) = \sumsS {\omega_s S(q_n) \rhodetavrg};\; 
  \theta_{\psi,s} = \theta_{\psi,s}(\xps). 
  }
\end{equation}

Запись (\ref{eq:k1quantavrg}) позволяет упростить расчеты с
использованием полученной модели обнаружений в классе $K_1$ по
сравнению с точной формулой (\ref{eq:k1pquant}).

Объекты класса $K_2$, представляющие собой подвижные цели, удобно
описывать разностным уравнением следующего вида:
\def\matrixF{\mathbf{F}}
\def\matrixR{\mathbf{R}}
\def\vecW{\mathbf{w}}
\def\vecV{\mathbf{v}}
\def\funcH[#1]{h\left(#1\right)}
\def\zp{\mathbf{z_p}}
\begin{eqnarray}
  \label{eq:k2process}
  \xc[k] &=& \matrixF[k] \xc[k-1] + \vecW[k]; \\
  \label{eq:k2topolar}
  \xp[k] &=& \funcH[{\xc[k]}].
\end{eqnarray}

Здесь под $k$ понимается $k$-ый момент времени (цикл обзора); матрица
$\matrixF[k]$ в (\ref{eq:k2process}) описывает эволюцию координаты
объекта $\xc$ во времени (предполагается, что она ненулевая);
$\vecW[k]$ -- случайный вектор: шум эволюции координаты. Уравнения
(\ref{eq:k2process}), (\ref{eq:k2topolar}) относятся к \textit{одному}
объекту (для любого друго они записываются аналогично). Уравнение
(\ref{eq:k2process}) описывает линейный (что характерно, в декартовой
системе координат) процесс движения объекта в пространстве,
(\ref{eq:k2topolar}) -- существенно нелинейное преобразование
координат в полярные, которые можно использовать для определения
последовательности измерений $\zn$, соответствующих данному объекту.

\def\pquantk2{P(q[k]|\Theta)}
\def\rhodetk2{\psi(\xi_p| \Theta)}

Аналогично (\ref{eq:k1pquant}) можно записать $\pquantk2$ для объектов
класса $K_2$:
\begin{equation}
  \label{eq:k2pquant}
  \pquantk2 = \int \limits_{\Omega(q[k])} \rhodetk2 d \xi_p .
\end{equation}

Здесь под $q[k]$ понимается номер кванта, соответствующий объекту
класса $K_2$, измеренный в $k$-ый момент времени. Остальные
обозначения аналогичны (\ref{eq:k1pquant}). Выражение
(\ref{eq:k2pquant}) имеет смысл распределения вероятностей
срабатывания в кванте при наличии гипотезы о линейном движении объекта
с ненулевой скоростью.

Аналогично (\ref{eq:k1pquantavrg}) можно записать:
\def\rhodetavrgk2{\psi(\xi_{p,n}^*|\theta_{\psi})}
\begin{equation}
  \label{eq:k2pquantavrg}
  \boxed{
    \pquantk2 = S(q[k]) \rhodetavrgk2;\;
    \theta_\psi = \theta_\psi(\xp[k]).
  }
\end{equation}

Подчеркнем, что при моделировании класса $K_2$ речь шла о
последовательности измерений $\zn$, относящихся к \textit{одному}
объекту, то есть приведенные формулы корректны при выделении
обнаружений из множества $\mathcal{Z}$ для \textit{каждого} объекта в
отдельности. При этом обнаружения, формируемые на нескольких обзорах,
фактически превращается в последовательность, зависящую от времени
$k$, которое входит в выражение (\ref{eq:k2pquantavrg}), в отличие от
(\ref{eq:k1pquantavrg}), где предполагается, что как таковой временной
процесс отсутствует.

Объекты класса $K_3$ заполняют пространство обзора с плотностью,
близкой к равномерной. Они <<мигают>> от обзора к обзору и не образуют
ни <<сгущений>>, как объекты класса $K_1$, ни временных процессов с
линейным изменением координат, как $K_2$.  Для таких объектов $\zn \in
\Z0$, то есть они <<смешиваются>> с классом $K_1$. В дальнейшем
изложении будет обсуждаться то, как объекты класса $K_3$ влияют на
обработку, и как следует от них отстраиваться ($K_3$ явно является
мешающим фактором).

\section{Алгоритм разделения подвижных и малоподвижных объектов}
\label{sec:algpartitioning}

Как было упомянуто в разделе \ref{sec:models}, существенно различное
поведение обнаружений различных классов наводит на мысль об их
раздельной обработке.

Идея предлагаемой схемы вторичной обработки состоит в том, чтобы явным
образом выделить обнаружения класса $K_1$ и оценить параметры
<<сгущений>> таких обнаружений, применяя при этом методы кластерного
анализа. Обнаружения класса $K_2$ в процессе выделения класса $K_1$
получаются автоматически и обрабатываются при помощи 
алгоритма автозахвата траектории и последующей траекторной
фильтрации. Объекты класса $K_3$ также отделятся от $K_1$, но не
пройдут процедуру автозахвата, что позволит отстроится от них. В
данном разделе рассматривается алгоритм выделения обнаружений класса
$K_1$ из множества всех обнаружений и оценки параметров объектов,
которые порождают эти обнаружения. 
Прочие упомянутые процедуры будут приведены в последующих
разделах.

Представление обнаружений класса $K_1$ в виде смеси распределений
(\ref{eq:k1quantavrg}) обуславливает применение EM-подобного алгоритма
для разделения смеси (то есть оценки количества компонент $S$, их
удельных весов $\omega_s$ и параметров $\theta_{\psi, s}$). Тот факт,
что изначально $S$ неизвестно, приводит либо к EM-алгоритму с
расщеплением/объединением компонент, либо к SEM-алгоритму \cite{Aivazyan}. 
Впрочем, использовать их <<напрямую>> для максимизации правдоподобия
(\ref{eq:k1quantavrg}) нельзя -- множество $\Z0$ включает объекты
класса $K_2$ и $K_3$, попавшие в 0-ой СК. Для того чтобы отобрать
обнаружения $\zn$, <<наиболее подходящие>> для описания в виде смеси
(\ref{eq:k1quantavrg}) можно воспользоваться критерием согласия
для сложной гипотезы \cite{Borovkov} на
каждой итерации соответствующих EM-подобных алгоритмов, и в случае,
если он не выполняется, отбросить <<наименне правдоподобный>> $\zn$ и
попытаться запустить разделение смеси заново по модифицированной
выборке. Таково вводное описание предлагаемого алгоритма. Перейдем к
его формализации.

Общая схема алгоритма приводится в листинге \ref{alg:partitioning}.

\def\gns[#1]{g_{n,s}^{#1}}
\def\gnscur{\gns[\upsilon]}
\def\gnsprev{\gns[\upsilon - 1]}
\def\estws[#1]{\hat{\omega}_s^{#1}}
\def\estwsprev{\estws[\upsilon - 1]}
\def\estwscur{\estws[\upsilon]}
\def\estparams[#1]{\hat{\theta}_{\psi, s}^{#1}}
\def\estparamscur{\estparams[\upsilon]}
\def\estparamsprev{\estparams[\upsilon - 1]}
\def\Zs{\mathcal{Z}_s}
\def\estS[#1]{\hat{S}^{#1}}
\def\estScur{\estS[\upsilon]}
\def\estSprev{\estS[\upsilon - 1]}
\def\sumnN{\sum\limits_{n = 1}^{N}}
\def\prodnN{\prod\limits_{n = 1}^{N}}
\def\sumsestS{\sum\limits_{s = 1}^{\estScur}}
\def\likehood[#1,#2]{#1 S(q_n) \psi(\xi^*_{p,n}|{#2})}
\def\likehoodforest{\likehood[\estwsprev, \estparamsprev]}
\def\likehoodfortest{\likehood[\estwscur, \estparamscur]}

В ходе \textit{инициализации} выбирается начальное число компонентов
смеси $\estS[0]$ (с некоторым запасом), начальные параметры
$\estparams[0]$, а также так называемые скрытые переменные $\gns[0]$,
которые в соответствии с общей схемой SEM-алгоритма имеют смысл
апостериорных вероятностей того, что обнаружение $n$ порождено
объектом $s$. Для контроля выполнения вводится счетчик $\upsilon$ и
флаг $B$, обозначающий, что критерий согласия однажды уже
выполнился. Для применения параметрического критерия $\chi^2$
необходимо задать разбиение множества квантов на группы $A_j$ (для
построения эмпирической функции распределения).

Aлгоритм состоит из следующих шагов, составляющих его содержание:
\begin{enumerate}
\item S-шаг (вероятностное обучение);
\item E-шаг (вычисление скрытых переменных);
\item М-шаг (оценка оптимальных параметров смеси);
\item Проверка критерия согласия;
\end{enumerate}

Шаги алгоритма повторяются до тех пор, пока оценки не станут <<устойчивыми>>.
При этом удобно контролировать параметры $\gnscur$, поскольку они лежат в 
диапазоне от 0 до 1.

\begin{algorithm}[H]
\caption{Выделение малоподвижных объектов и оценка их параметров на 
  основе SEM-алгоритма}
\label{alg:partitioning}
\begin{algorithmic}
\item \textit{Инициализация:} \State Выбор $\estS[0]$,
  $\estparams[0]$, $\estws[0]$, $\gns[0]$ \State $\upsilon \gets 1$;
  $B \gets False$ \State Разбиение квантов на группы $A_j;\; j =
  1\cdots J$

  \While{$\forall(n,s):|\gnscur - \gnsprev| > \varepsilon$}
  
\item \textit{S-шаг:} \State $ e_s(q_n) \gets
  \begin{cases}
    1 & \text{с вероятностью } \gnsprev, \\
    0 & \text{с вероятностью } \gnsprev.
  \end{cases} $ \State $\Zs = \{q_n : e_s(q_n) = 1\}; $ \If
  {${\|\Zs}\| < L$} \State $\forall(n): \gnsprev \gets 0$ \State
  $\estScur \gets \estScur - 1$ \State Разыграть $e_s(q_n)$ заново
  \EndIf
  
\item \textit{E-шаг:} \State $\gnscur = \frac{\likehoodforest}{\sumsS
    \likehoodforest}$
  
\item \textit{M-шаг:} \State $\estwscur \gets \frac{\|\Zs\|}{n}$
  \State $\estparamscur \gets \arg\max\limits_{\theta}
  \prod\limits_{q_n \in \Zs} \likehood[\estwsprev, \theta]$

\item \textit{Проверка критерия согласия:} \If{$B = True$} Выход из
  проверки
  \EndIf
  \If{$\upsilon > V$} \State $n \gets n - 1$ \State Исключить $q^*
  \gets \arg\min\limits_{q_n}\prodnN\sumsestS\likehoodfortest$
  \EndIf

  \State $\nu_j \gets \sumnN{\textbf{I}(q_n \in A_j)}$

  \State $P_j \gets \sum\limits_{q_n \in A_j} \sumsestS
  \likehoodfortest $ \If{$\sum\limits_{j = 1}^{J} \frac{(\nu_j - n
      P_j)^2}{n P_j} < C$} $B \gets True$
  \EndIf

\item \textit{Переход к следующему шагу:} \State $\upsilon \gets
  \upsilon + 1;$
  \EndWhile

\end{algorithmic}
\end{algorithm}

На \textit{S-шаге} алгоритма выполняется генерирование последовательности
$e_s(q_n)$ с соответствующими вероятностями $\gnsprev$ методом Монте-Карло.
Каждый эксперимент с выбором $e_s(q_n)$ делается один раз. По полученной 
последовательности делается разбиение исходного множества обнаружений
$\mathcal{Z}$ на подмножества $\Zs$: если $e_s(q_n) = 1$, то обнаружение 
приписывается $s$-му множеству. Далее, если количество элементов в каждом
из множеств меньше некоторого порога $L$, то соответствующие апостериорные
вероятности обнуляются, количество компонентов смеси уменьшается на 1,
после чего S-шаг повторяется.

\textit{E-шаг} предполагает вычисление апостериорных вероятностей по формуле
Байеса в соответствии с общей схемой SEM-алгоритма.

На \textit{M-шаге} осуществляется оценка весов компонент и их параметров
путем максимизации функции правдоподобия для $s$-го компонента по всем
обнаружениям, входящим в множество $\Zs$.

Далее вводится дополнительный шаг: \textit{проверка критерия
  согласия}.  В нем используется критерий $\chi^2$ для проверки
параметрической гипотезы.  Пороговое значение $C$ выбирается 
в соответствии с желаемой
мощностью $\varepsilon$ критерия по таблице распределения величины
$\chi^2_{J - 3}$: $\varepsilon = P(\chi^2_{J - 3} \ge C)$, где $J$ --
количество групп квантов.

\textit{Замечания.}

Строго говоря, для корректной оценки параметров смеси с помощью
алгоритмов EM-типа требуется, чтобы выборка была не слишком
<<короткой>>.  SEM-алгоритм формирует несмещенные оценки, которые
представляют собой случайный процесс на каждом шаге
алгоритма. Ситуация с малым количеством остчетов в кластерах требует
подробного рассмотрения. Кроме того, параметрический критерий
согласия $\chi^2$ предполагает, что теоретическая плотность, которая
сравнивается с эмпирической, вычисляется не в точках максимума функции
правдоподобия смеси, а в точках минимума функции потерь
$\sum\limits_{j = 1}^{J} \frac{(\nu_j - n P_j)^2}{n P_j}$ по параметрам
${\omega_s}$. Для алгоритма \ref{alg:partitioning}, строго говоря, распределение
функции потерь не будет равно распределения $\chi^2$, что может
привести к <<недооценке>> мощности критерия. Строго говоря, при
разделении смеси следует не максимизировать функцию правдоподобия
для смеси (или, как в SEM-алгоритме, для каждой из компонент),
а минимализировать функцию потерь, либо максимизировать функцию
правдоподобия, минимализирующую функцию потерь:

\begin{equation}
\label{eq:likehoodrho}
f(\nu_1, \cdots, \nu_J|\Theta) = \frac{n!}{\nu_1!\cdots\nu_J!}
P_1(\Theta)^{\nu_1}\cdot ... \cdot P_J(\Theta)^{\nu_J}
\end{equation}

Однако практическая реализация такого алгоритма заметно сложнее,
а для многих распределений параметры, полученные в результате максимизации
функции правдоподобия смеси будут давать приемлимое отклонение
мощности критерия от определяемого распределением $\chi^2$.
Другим вариантом является вместо максимизации функции правдоподобия
на М-шаге максимизировать функцию вида (\ref{eq:likehoodrho}) для
\textit{каждого} компонента смеси. В этом случае проверка критерия
согласия заметно упростится, и фактически будет заключаться в
проверке сходства оценки ПРВ обнаружения для $s$-го <<сгущения>>
и теоретической ПРВ с параметрами $\theta_s$. Оценка потерь от использования
при проверке критерия согласия оценок $\{\estparamscur\}$ требует
дополнительных исследований в рамках конкретных распределений. 

Также важным моментом является тот факт, что 
критерий согласия $\chi^2$ для проверки параметрической гипотезы 
требует зачастую весьма большого количества
точек в выборке. В случае малого количества точек, необходимо
объединять интервалы $A_j$. Это также требует дополнительных
исследований в конкретной практической ситуации.

\section{Математическая модель работы алгоритма}

\section{Замечания по встраиванию в общую схему вторичной обработки}

\section{Выводы}

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Kuzmin2000}
  \auth{Кузьмин С. З.}
  Цифровая радиолокация. Введение в теорию. Киев.:
  Издательство КВiЦ, 2000. -- 428 с.
\bibitem{FSCOS}
  \auth{Фарина А.}, \auth{Студер Ф.}
  Цифровая обработка радиолокационной информации. Сопровождение 
  целей: Пер. с англ. / Под ред. А.Н. Юрьева. 
  М.: Радио и связь. 1993. -- 320 с.
\bibitem{Aivazyan}
  \auth{Айвазян С. А.} \auth{и др.}
  Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности.
  М.: <<Финансы и статистика>>, 1989. -- 607 c.
\bibitem{Borovkov}
  \auth{Боровков А. А.}
  Математическая статистика: Учебник. СПб.: Издательство <<Лань>>,
  2010. -- 704 с.
\end{thebibliography}

\end{document}
